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畑政義写像で遊ぼう

こんにちは。畑政義写像という面白い関数があり、これを JavaScript を使って可視化するととても楽しいので、紹介します。可視化アプリは、以下のリンクから遊べます。

Play with Hata-map / 畑政義写像で遊ぼう

仕組み

畑政義写像は以下のように定義されます。

$$ \begin{eqnarray} f_1 (z) &=& az + b \bar{z} \\
f_2 (z) &=& c (z - 1) + d (\bar{z} - 1) + 1 \end{eqnarray} $$

ここで $a$, $b$, $c$, $d$ はそれぞれ適当な複素数の定数です。ここで適当な初期値 $z_0$ を定め、

$$ \begin{eqnarray} z_n &=& f_1 (z_{n - 1}) \\
z_n &=& f_2 (z_{n - 1}) \end{eqnarray} $$

を繰り返し計算し、複素平面にプロットしていきます。$z_n$ の定義が 2 つあるので、写像を適用するたびにプロットするべき点の個数は倍々に増えていきます。ちょっとわかりにくいですが、図にするとこんな感じです。

プロットの模式図
プロットの模式図

プロットを鑑賞しよう

スライダーをぐりぐりいじってると、面白い形が次々と登場します。以下に、とくに印象的だったものを紹介します。

葉っぱっぽいやつ
葉っぱっぽいやつ

葉っぱ2
葉っぱ2

急に整列することもある
急に整列することもある

Lévy-C 曲線
Lévy-C 曲線

コッホ曲線っぽいもの
コッホ曲線っぽいもの

シェルピンスキー・ギャスケットっぽいもの
シェルピンスキー・ギャスケットっぽいもの

まとめ

まだまだ紹介しきれていないおもしろい図形がたくさんあるんですが、今回はここまでということで。 みなさんも、スライダーをぐりぐり動かして遊んでみてください。

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